MECÂNICA QUÂNTICA DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI. [2.040]

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ]

\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =\rho

\nabla \cdot \mathbf {B} =0

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

\nabla \times \mathbf {B/\mu } =\mathbf {\mu J} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ]

\nabla \cdot \mathbf {E} =0

\nabla \cdot \mathbf {B} =0

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $\oint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$ $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $\oint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {\partial \Phi _{\mathbf {B} }}{\partial t}}$ onde $\Phi _{\mathbf {B} }=\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $\oint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\int _{S}-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A}$ ] $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ ] $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Em materiais lineares

Em materiais lineares, os campos D e H são relacionados a E e B por:

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}

\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}

nos quais:

ε é a constante dieléctrica ou permissividade elétrica.

μ é a permeabilidade magnética.

Isto pode ser estendido para materiais não-lineares, fazendo ε e μ dependentes da intensidade do campo. Por exemplo, o efeito Kerr, o efeito Pockels e materiais não-isotrópicos, ε e μ passam a ser tensores que mudam a direção do campo ao qual são aplicados.

Em meios isotrópicos e não dispersivos, ε e μ são escalares independentes do tempo, e as equações de Maxwell se reduzem a

\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =\rho

\nabla \cdot \mathbf {B} =0

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

\nabla \times \mathbf {B/\mu } =\mathbf {\mu J} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

Em um meio uniforme, homogêneo, ε e μ são constantes independentes da posição, e podem portanto ser trocadas pelas derivadas espaciais.

De modo geral, ε e μ podem ser tensores de segunda ordem, descritos por matrizes 3×3, e descrevem materiais birrefringentes ou anisotrópicos.

Embora para muitos propósitos a dependência tempo/frequência destas constantes possa ser desprezada, todo material real exibe alguma dispersão material pela qual ε e/ou μ dependem da frequência, e a causalidade vincula esta dependência às relações de Kramers-Kronig.

Vácuo

O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas por ε₀ e μ₀, desprezando-se pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos. Caso não haja presença de correntes ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:

\nabla \cdot \mathbf {E} =0

\nabla \cdot \mathbf {B} =0

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com os dois campos em fase:

\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} =\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial \nabla \times \mathbf {B} }{\partial t}}

\nabla \times \nabla \times \mathbf {B} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B} =\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \nabla \times \mathbf {E} }{\partial t}}

Mas:

0-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

0-\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)

O que permite obter a equação da onda eletromagnética:

\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E}  \over \partial t^{2}}

\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {B}  \over \partial t^{2}}

De onde se obtém a velocidade da onda eletromagnética (c):

v={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}

Maxwell percebeu que essa quantidade "v" poderia estar relacionada à velocidade da luz no vácuo, e concluiu que a própria luz poderia ser uma forma de radiação eletromagnética, confirmada por Heinrich Hertz em 1888.

Detalhamento

Densidade de carga e campo elétrico

A forma integral equivalente (dada pelo teorema da divergência), também conhecida como lei de Gauss, é:

Q_{\text{englobado}}=\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\rho dV

pelo teorema da divergência:
$\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {D} dV=\int \!\!\!\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A}$

e pela Lei de Gauss:

\int \!\!\!\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{\text{englobado}}

logo

\int \!\!\!\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {D} dV

onde $d\mathbf {A}$ é a área de um quadrado diferencial numa superfície fechada A com uma normal dirigida para fora definindo sua direção, e $Q_{\text{englobado}}$ é a carga livre abrangida pela superfície. portanto:

\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {D} dV=\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\rho dV

logo

\longrightarrow

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho

onde ${\rho }$ é a densidade volumétrica de carga elétrica livre (SI: C/m³), não incluindo dipolos de cargas ligadas no material, e $\mathbf {D}$ é a densidade superficial de carga elétrica (SI: C/m²). Esta equação corresponde à lei de Coulomb para cargas estacionárias no vácuo.

Em um material linear, $\mathbf {D}$ está diretamente relacionado ao campo elétrico $\mathbf {E}$ por meio de uma constante dependente do material chamada permissividade $\epsilon$ :

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}

Qualquer material pode ser tratado como linear, desde que o campo elétrico não seja extremamente intenso. A permissividade do espaço livre é referida como $\epsilon _{0}$ , e aparece em:

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{t}}{\varepsilon _{0}}}

onde, novamente, $\mathbf {E}$ é o campo elétrico (SI: V/m), $\rho _{t}$ é densidade de carga total, incluindo as cargas ligadas, e $\epsilon _{0}$ (aproximadamente 8,854 pF/m) é a permissividade do vácuo. $\epsilon$ também pode ser escrito como $\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}$ , onde $\epsilon _{r}$ é a permissividade relativa do material ou sua constante dieléctrica.

Estrutura do campo magnético

\nabla \cdot \mathbf {B} =0

$\mathbf {B}$ é a densidade de fluxo magnético (SI: tesla, T), também chamada a indução magnética.

A sua forma integral equivalente é:

\int \!\!\!\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0

$d\mathbf {A}$ é a área de um quadrado diferencial $�$ com uma normal superficial apontando para fora, definindo sua direção. Semelhantemente à forma integral do campo elétrico, esta equação funciona somente se a integral for calculada sobre uma superfície fechada.

Esta equação é relacionada à estrutura do campo magnético porque, dado o elemento de volume, a magnitude líquida dos componentes vectoriais que apontam para fora da superfície deve ser igual à magnitude dos componentes vectoriais que apontam para dentro. E, estruturalmente, isto significa que as linhas do campo magnético devem ser linhas ou trajetórias fechadas. Outra maneira de se afirmar isto é que as linhas de campo não podem se originar de outro lugar. Esta é a formulação matemática da hipótese de que não há monopolos magnéticos.

Campos magnéticos e elétricos variáveis

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

Usando a forma integral equivalente e usando o teorema de Stokes, temos:

\oint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}

e como pela lei de Faraday :

\oint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {\partial \Phi _{\mathbf {B} }}{\partial t}}

onde

\Phi _{\mathbf {B} }=\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}

logo

\oint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\int _{S}-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A}

onde

Φ_B é o fluxo magnético através da área A descrita pela segunda equação

E é o campo elétrico gerado pelo fluxo magnético

c é um contorno fechado na qual a corrente é induzida, tal como um fio.

S é a superfície enlaçada pela curva c.

A força eletromotriz, algumas vezes denotada como ${\mathcal {E}}$ e não deve ser confundida com a permissividade acima, é igual ao valor desta integral. Esta lei corresponde à lei de Faraday de indução eletromagnética.

Esta equação relaciona os campos elétrico e magnético, mas isso também tem várias aplicações práticas. Esta equação descreve como motores elétricos e geradores elétricos trabalham. Especificamente, isto demonstra que a voltagem pode ser gerada pela variação do fluxo magnético passando através de uma dada área no tempo, tal como acontece com uma espira girando uniformemente através de um campo magnético fixado.

Em um motor ou gerador, a excitação fixa é fornecida pelo circuito de campo e a voltagem variável é medida pelo circuito da armadura. Em alguns tipos de motores/geradores, o circuito de campo é montado sobre o rotor e o circuito da armadura é montado sobre o estator, mas outros tipos de motores/geradores empregam a configuração contrária.

Fonte do campo magnético

\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

onde H é a intensidade de campo magnético (SI: A/m), relacionado ao campo magnético B por uma constante chamada permeabilidade magnética μ (B = μH), e J é a densidade de corrente elétrica, definida por: $\mathbf {J} =\rho _{q}\mathbf {v}$ , onde v é o campo vetorial chamado de velocidade de arraste que descreve as velocidades de um portador de carga que tem uma densidade descrita pela função escalar $\rho _{q}$ .

Pesquisar este blog

MECÂNICA QUÂNTICA DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI. [2.040]

Em materiais lineares

Vácuo

Detalhamento

Densidade de carga e campo elétrico

Estrutura do campo magnético

Campos magnéticos e elétricos variáveis

Fonte do campo magnético

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog